1.4　平稳性和可逆性

若用xt，m表示序列xt-j，j=0，…，m-1的部分，该部分包含m个连续项，假设pt，m（x）为xt，m的分布函数，对于任意有限的m而言，pt，m（x）都不是t的函数，就称序列xt是平稳的。因此，如果序列生成机制不随时间变化，并且序列具有短记忆，就称该序列是平稳的。因此，已知xt-j，j≥0时，xt+h，m的条件分布等同于无条件分布。平稳性是统计理论极其重要的性质，但实际检验却相当困难。可以检验均值或方差是否固定，或者序列是否具有短记忆等平稳性的性质，但检验整个分布的一致性却不容易。对于既定模型，有时平稳性成立。例如，线性自回归模型：

yt=a1yt-1+a2yt-2+εt

是平稳的，其条件是多项式

1-a1z-a2z2=0

的根均落在单位圆|z|=1的外面，且εt是独立同分布的。很明显，该结论可以推广到AR（p）模型。

序列xt称为二阶平稳，条件是其均值与方差为常数，相应的自协方差Cov（xt+k，xt）只依赖于k。该条件是线性过程平稳的充要条件，但只是非线性过程平稳的必要条件。

更难以理解的概念是遍历性（ergodicity）。如果参数的估计值随着序列项数的增加而改善，则称该序列是遍历的。常数或纯正弦波是非遍历的。Hannan（1970）、White（1984）提供了遍历性的完备描述。另外，尽管几乎不可能检验有限序列是否具有遍历性，但能构造特定的遍历模型。例如，NLAR（1）模型：

yt=g（yt-1）+εt

是遍历的，其条件是函数g（y）连续有界，且

其中C，H是常数，A>E［|ε|］。Doukhan和Ghindes（1980）证明了上述结论。因此，若要保证遍历性，只需满足：

可逆性是序列可能具备的另一种性质，且对于序列预测问题尤其重要。假设模型为：

yt=g（It-1）+εt　（1-11）

其中It：xt-j，εt-j，j≥0以及xt是解释变量向量。问题是：可以估计εt序列吗？通常不能观测该序列。简单变换（1-11）得到：

εt=yt-g（It-1）　（1-12）

但需要知道ε序列的前期值，才能得到当期估计值。假设我们可以猜出ε序列的初始值，k=1，…，q，从而得到估计值，t=0，1，…，T。在某区间内，如果存在，则，那么该过程可逆。此时，从任何有效的初始值得到估计值，最终都趋向真实值εt。然而，在部分过程中，不会出现需要的收敛。可逆模型如下：

yt=εt+0.6εt-1

和

yt=εt+αyt-1εt-1

其中，

|ασε|<0.606

而不可逆模型如下所示：

yt=εt+1.3εt-1

和

和

yt=εt+αεt-1εt-2

对于部分复杂模型而言，存在可逆性条件，可参考Liu（1985）的双线性模型，但是实际很难应用可逆性条件。判别模型是否可逆的使用方法如下。利用εt已知的模型生成数据，通过（1-12）得到估计值。尽管对于所有的k，存在初始值，但是也可以利用其他值，除非它们不是真正的初始值。描绘和εt的图形，若序列收敛，则它们的图形相似。尽管如此，仍然需要重复试验几次才能得到该结论。值得注意的是，平稳性和遍历性属于序列的性质，而可逆性是模型的性质。