2.4.1 时频分析方法

目前，脑电信号处理领域应用较为广泛的时频分析方法主要包括短时傅里叶变换（Short Time Fourier Transfor，STFT）、小波变换（Wavelet Transform，WT）、维格纳-费利分布（Wigner-Ville Distribution，WVD）、希尔伯特-黄变换（Hilbert-Huang Transform，HHT）等。

1.短时傅里叶变换

传统的傅里叶变换基函数为复正弦形式，缺少时域定位的功能，因此不适用于时变非平稳信号。1946年，Gabor提出了短时傅里叶变换的概念，这是针对非平稳信号所提出的最早、最简单的信号时频分析方法。短时傅里叶变换假定非平稳信号是分段平稳的，通过一个固定长度的滑动窗分段截取信号，并对所截取的信号进行傅里叶变换，进而得到信号x（t）在任意时刻的频谱。短时傅里叶变换定义为

式中，g（t）为窗函数，g*（t）为窗函数g（t）的共轭。

虽然短时傅里叶变换在一定程度上克服了傅里叶变换没有局部分析能力的缺陷，但由于窗函数是固定的，根据Heisenberg测不准原理，短时傅里叶变换的时间分辨率和频率分辨率不可能同时最优。

2.小波变换

小波变换的概念是1984年由法国地球物理学家J.Morlet提出来的，其后由理论物理学家A.Grossman采用平移和伸缩不变性建立了小波变换的理论体系。1989年S.Mallat提出了多分辨分析的概念，巧妙地将多尺度分析的思想引入小波分析中，包括小波函数的构造及信号按小波变换的分解及重构，特别是提出了二进小波变换的快速算法，自此小波变换在信号处理等领域的应用逐渐推广开来。

小波分析（Wavelet Analysis）或小波变换是指用有限长或快速衰减的、称为母小波（Mother Wavelet）的振荡波形来表示信号，该波形被平移和伸缩为匹配输入的信号。小波变换的定义为

式中，ψ（t）为基本小波（或称母小波），a是尺度因子，τ是时移。

小波分析在高频时使用短窗口，在低频时使用宽窗口，其作用类似一组带宽相等、中心频率可变的带通滤波器，有“数学显微镜”之称。在脑电信号分析中，采用小波变换中的多尺度分析可以很好地检测出脑电信号中的棘波、棘慢波及伪迹等异常波。

3.维格纳-费利分布

信号x（t）的维格纳-费利分布（WVD）为

可将其看作函数r_x（t，τ）=x（t+τ/2）x*（t-τ/2）对τ的傅里叶变换，其等效频域表示为

维格纳-费利分布除具有非常高的时频分辨率外，还具有对称性、可逆性和归一性等诸多优点，很适合脑电信号瞬态波形的特征提取。但由于该分布不是线性处理，在运算过程中会产生一个多余的交叉项，影响脑电信号的处理结果，因此在利用维格纳-费利分布进行脑电信号处理之前，必须先经过低通滤波（一般30Hz以下），以防止混叠。

4.希尔伯特-黄变换

1998年美籍华人科学家黄谔（Norden E.Huang）教授提出了希尔伯特-黄变换（HHT），为非平稳和非线性信号的分析与处理开辟了新途径。HHT包括两个主要步骤：一是经验模态分解（Empirical Mode Decomposition，EMD）；二是希尔伯特谱分析。EMD将一个复杂的信号分解为一系列的简单分量，称为固有模态函数（Intrinsic Mode Function，IMF），之后对每一个IMF求希尔伯特变换，得到相位函数，再进一步得到其瞬时频率（Instantaneous Frequency，IF），最后得到信号能量随时间和频率的分布，称为希尔伯特谱。

（1）瞬时频率

瞬时频率（IF）是描述非平稳和非线性信号最重要的工具，也是HHT的核心内容。设信号x（t）具有

或

的形式，通常定义

为信号的瞬时频率。平稳信号的IF应为一常数，而非平稳信号的IF是时间t的函数。

（2）经验模态分解

由于实际的非平稳和非线性信号无法直接求解瞬时频率，需要将待研究信号分解为一系列单分量信号，每个单分量信号只包含一种振荡模式（即单一的瞬时频率）。这些分解后的分量称为固有模态函数（IMF），这一分解过程即为经验模态分解（EMD）。经验模态分解的过程又称为筛选过程，其具体步骤如下。

①对信号x（t）找出其局部最大值点和局部最小值点，利用三次样条函数插值得到x（t）的上包络u（t）和下包络l（t）；令m₁（t）=[u（t）+l（t）]/2，再令h₁（t）=x（t）-m₁（t），从而完成第一次迭代。一般h₁（t）不会符合IMF的要求，需要继续迭代运算。

②找出h₁（t）的局部最大值点和局部最小值点，同样利用三次样条函数插值得到的上、下包络u₁（t）和l₁（t）；令m₁₁（t）=[u₁（t）+l₁（t）]/2，从而得到h₁₁（t）=h₁（t）-m₁₁（t）。检查h₁₁（t）是否符合IMF的条件，如果不符合，则继续上述迭代过程，直到

符合IMF的条件。并令c₁（t）=h_1k（t），则c₁（t）是筛选出的第一个IMF分量，完成第一次筛选。

上述筛选过程往往需要一个停止准则，常用的迭代停止准则有Cauchy类型的停止准则、基于包络均值的停止准则、“S”数停止准则和固定迭代次数的停止准则等。

一个实际的非平稳或非线性信号不可能只包含一个IMF分量，即它可能包含多种振荡模式，为了将它们一一分离出来，还需要进行如下步骤。

③令

即r₁（t）为原信号和第一个IMF分量的差，将其视为信号x（t），重复步骤①和②，于是可以得到

式中，c₂（t），…，c_m（t）为新筛选出来的IMF分量，该分解过程直到r_m（t）变成一个单调的函数，或只包含一个极值点时停止。这样，信号x（t）就被分解成m个IMF分量与最后的残差r_m（t）的和，即

实际上，r_m（t）是一个简单的趋势函数或一个常数。

（3）希尔伯特变换和希尔伯特谱分析

在利用EMD方法分解得到信号x（t）的各个IMF分量后，可对每个IMF分量c_i（t）做希尔伯特变换，即

从而构造解析信号，式中a_i（t）和φ_i（t）分别表示第i个IMF分量的瞬时幅值和瞬时相位，具体计算公式为

根据式（2.16）求出瞬时频率Ω_i（t）后，原始信号x（t）在不考虑残差项r_m（t）时，可表示为

式中，Re表示取实部。上式的展开式即为希尔伯特谱。