2.4.2 非线性动力学分析方法

非线性动力学分析方法充分切合了脑电信号非线性、非平稳性的特点，能够更好地揭示脑电的本质特征，反映其中的电生理机制。常用的脑电信号非线性动力学分析方法有Lyapunov指数、关联维数（Correlation Dimension）、近似熵（Approximate Entropy）、样本熵（Sample Entropy）等。

1.Lyapunov指数

Lyapunov指数（λ）定义的是相空间中邻近轨道的发散或收敛率，λ＜0表示初值相邻的两轨线越来越靠近，其运动渐近稳定；λ＞0表示初值相邻的两轨线最终分离；λ=0表示运动具有周期性。混沌运动的λ一定大于零。Lyapunov指数的大小反映了系统的混沌程度，指数值越大，系统越混沌。1983年，格里波基证明只要最大Lyapunov指数大于0，系统就具有混沌性，这成为了系统混沌特性判别的主要量化方法之一。计算最大Lyapunov指数的方法主要有Wolf法、Jacobian法、p范数法和小数据量法。其中小数据量法具有计算量小、物理意义明确等优点，是专门针对数据量小的时间序列提出的算法，该算法的计算步骤如下。

①对时间序列{x₁，x₂，…，x_N}进行FFT变换，计算出时间延迟τ和平均周期P。

②计算出关联维d，再由确定嵌入维数m。

③根据时间延迟τ和嵌入维数m重构相空间{Y_j，j=1，2，…，M}，M=N-（m-1）τ。

④找相空间中每个点Y_j的最近邻点Y_ˆj，并限制短暂分离，即

⑤对相空间中每个点Y_j，计算出该邻点对的第i个离散时间步长后的距离d_j（i）

⑥对每个i，求出所有j的lnd_j（i）的平均y（i），即

式中，q为非零d_j（i）的数目，Δt为样本周期。用最小二乘法作回归直线，该直线的斜率就是最大Lyapunov指数。许多研究者计算了脑电信号的最大Lyapunov指数，结果均为正值，这表明脑电信号具有混沌特征。

2.关联维数

关联维数（D₂）是一种常用的非线性分析方法，它给出了非线性动力系统的自由度信息，关联维数越高，系统越复杂。现在很多研究已经将关联维数用于分析大脑的不同状态，如清醒、睡眠及各种病理状态，如癫痫发作、帕金森病、阿尔茨海默病等。

关联维数D₂的计算一般采用Grassberger和Procaccia（1983）提出的算法，即GP算法。GP算法主要分以下几个步骤。

①对采集到的N个时间信号序列{x（1），x（2），…，x（N）}进行m维相空间重构，得到的矢量记为X（i），则

式中，m为嵌入维数，τ为延迟时间，M为重构后相空间的点数，M=N-（m-1）τ。

②选定一个正数r，并计算任意两个矢量之间的距离，统计矢量距离小于或等于r的数目及此数目与距离总数的比值，记作C（r），其计算公式为

式中，θ为赫维赛德函数，即

③选择一系列r值，计算C（r），并以lgr为横坐标，以lgC（r）为纵坐标，得到一条lgC（r）/lgr的曲线。

④曲线lgC（r）/lgr具有线性区域，称为定标区域，求出该区域拟合直线的斜率，该斜率即为相关维数D₂的估计值。用公式表示即为

3.近似熵

脑电信号的复杂度测量是近年来发展起来的一种新方法，它可以定量地评价直观信号曲线变化的复杂性，有效地反映大脑在生理、病理和不同药物作用下的某些变化特征，便于各种大脑活动之间的比较和区分。早期，复杂度一般采用Lempel和Ziv（1986）提出的L-Z算法以及Kasper和Schuster（1987）提出的K-S算法计算，但由于这两种算法都需要对非“0”“1”信号序列进行粗粒化处理，因此丢失了许多信息，有可能改变系统的动力学特性。20世纪90年代初，Pincus从衡量时间序列复杂度的角度提出并发展了近似熵的概念，并成功将它应用于生理性时间序列的分析，如应用到心率信号、血压信号、脑电信号等时间序列的复杂度研究中，取得了不错的效果。近似熵的具体算法如下。

①对采集到的N个时间信号序列{x（1），x（2），…，x（N）}进行m维相空间重构，得到的矢量记为X_i，则

②定义其中任意两个矢量之间的距离为两者对应分量之间差值的最大者，记为d[X（i），X（j）]。用公式表示为

③选定一个正数r，对每个i值，统计d[X（i），X（j）]小于r的数目及该数目与距离总数的比值，记为。其计算公式为

④定义Φm为的平均值：

⑤重复步骤①～④，计算m+1维的Φm+1（r）值。

⑥理论上此序列的近似熵为

当N为有限值时，按上述步骤得出的是序列长度为N时近似熵的估计值。记为

通常，m取1或2，r取0.1SD～0.25SD（SD为原始数据序列的标准差），这时所得到的近似熵具有较合理的统计特性。

近似熵实际反映的是一个时间序列在模式上的自相似程度，也就是当维数变化时序列中产生新模式可能性的大小。

近年来有很多文章从近似熵的角度对脑电信号进行分析，发现近似熵只需要较短的数据就能得到较稳定的估计值（所需要的数据点数为100～1500，一般约为1000点），而且具有较好的抗噪声和抗干扰的能力，特别是对偶尔产生的瞬态强干扰有较好的承受能力。无论信号是随机的还是确定的都可以使用，因此近似熵算法也可以用于由随机成分和确定性成分组成的混合信号，当两者比例不同时近似熵值也不同。

4.样本熵

熵在分析生物系统时是非常有利的，因为生物信号往往既有确定性成分（或确定性随机混沌成分），又含有随机性成分。随着研究的深入，人们发现近似熵用于非线性时间序列分析时，存在着偏差和结果不恒定等问题。为了克服这些缺陷，Richman和Moorman提出了一种近似熵的改进方法，即样本熵。样本熵的物理意义与近似熵相似，是一种度量序列的复杂度和统计量化的非线性动力学参数，用一个非负数来表示一个时间序列的复杂度。时间序列越复杂，样本熵的数值越大。有研究表明，样本熵分析具有相对一致性，似乎比近似熵更适合生物电信号等的分析。样本熵的算法如下。

①对采集到的N个时间信号序列{x（1），x（2），…，x（N）}进行m维相空间重构，得到的矢量记为X_i，则

②定义其中任意两个矢量之间的距离为两者对应分量之间差值的最大者，记为d[X（i），X（j）]。用公式表示为

③选定一个正数r，对每个i值，统计d[X（i），X（j）]小于r的数目及该数目与距离总数的比值，记为，其计算公式为

④求对所有i的平均值，记为Φm（r），其计算公式为

⑤重复步骤①～④，计算m+1维的Φm+1（r）值。

⑥理论上此序列的样本熵为

当N为有限值时，按上述步骤得出的是序列长度为N时样本熵的估计值。记为

根据研究表明，m一般取1或2，r取0.1SD～0.25SD（SD为原始数据序列的标准差），数据长度大致为100～5000点，可得到较合理的熵值。样本熵值越低，序列的自我相似性越高；样本熵值越大，序列越复杂。