前言 数学之美与效用

一个聪明的观察者在看到数学家工作时可能会得出结论，他们是一群古怪教派的狂热信徒，是宇宙秘钥的追寻者。

——菲利普·戴维斯（Philip Davis）与鲁本·赫什（Reuben Hersh），《数学经验谈》（The Mathematical Experience）一书作者

数学已经渗透到科学发展的每一个领域，并在生物学、物理、化学、经济学、社会学和工程学中发挥着宝贵的作用。数学可以用来解释夕阳的颜色或我们大脑的结构。数学帮助我们建造超音速飞机和云霄飞车，模拟地球自然资源的流动，探索亚原子量子世界，观察并想象遥远的星系。可以说，数学改变了我们看待宇宙的方式。

在这本书中，我希望能使用较少的公式就能让读者感受到数学的魅力，同时拓展和锻炼读者的想象力。然而，对多数读者而言，这本书并不讨论只为满足猎奇心理而缺乏实用价值的东西。事实上，来自美国教育部的报告表明，在高中能顺利完成数学课程的学生，在大学选择的专业里也能取得更好的成绩。

数学的可用性使我们能够建造宇宙飞船和研究我们宇宙的几何学。而数字更可能是我们与外星智慧生命沟通的首选方式。一些物理学家甚至推测，对更高维度和拓扑学（研究形状及其相互关系的数学分支）的理解——也许有一天，当地球在极热或极冷中毁灭之时，数学能帮助我们逃离所在的时空，把整个宇宙都当成我们的家园。

“同时发现”在数学史上经常发生。正如我在“莫比乌斯带（1858年）”条目中提到的那样，1858年，德国数学家奥古斯特·莫比乌斯（August Möbius，1790—1868）和与同时代的学者，德国数学家约翰·贝内迪克特·利斯廷（Johann Benedict Listing，1808—1882）同时并独立地发现了莫比乌斯带（一种神奇的扭曲环带，只有一个面）。类似于莫比乌斯和利斯廷同时发现莫比乌斯带的事例，英国博学多才的艾萨克·牛顿（Isaac Newton，1643—1727）和德国数学家戈特弗里德·威廉·莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz，1646—1716）独自同时发明了微积分。这让我十分好奇：为什么在科学上有这么多的发现是由多人独立同时完成的。又如，英国博物学家查尔斯·达尔文（Charles Darwin，1809—1882）和阿尔弗雷德·华莱士（Alfred Wallace，1823—1913）既独立又同时提出了进化论。同样，匈牙利数学家亚诺什·鲍耶（János Bolyai，1802—1860）和俄罗斯数学家尼古拉·罗巴切夫斯基（Nikolai Lobachevsky，1792—1856）也似乎是同时而独立地发明了双曲几何学。

最有可能的解释是，这种同时出现的发现是因为人类在这时已经积累了足够的知识，发现的时机正好成熟。有时候，两个科学家可能通过阅读同时代的某人的先导研究，受到了同样的启发。但神秘主义者却认为这种巧合存在着更深层次的意义。奥地利生物学家保罗·卡梅纳（Paul Kammerer，1880—1926）写道：“因此，正如我们观察一个世界拼图或宇宙万花筒的影像，不管怎样地刷新和重组，它也会出现相似的图案。”他认为我们世界上的事件，就如同海浪顶部的浪花，似乎孤立无关变幻莫测。但根据他这种颇具争议的理论，我们往往只注意到海浪的顶部，但在海面之下可能存在某种同步机制，神秘地连接着我们世界中的事件，并使它们聚集在一起。”

乔治·伊夫拉（Georges Ifrah）在《数学通史》（The Universal History of Numbers）中写到玛雅数学时也讨论了这种同时性：

因此，我们再次看到，那些在时间或空间上被远远分离的人，是如何被引导出哪怕不能说是完全相同，至少也是非常相似的结果的。在某些情况下，可以用不同人群之间的接触和影响来解释这个现象。而真正的解释在于我们以前所说的文化的深刻的统一性：世界各地的智人的智慧及其潜能是高度一致的。

古人，比如希腊人，对数字有着深深的迷恋。在不断变化的世界中，对处境艰难的人类来说，数字才是唯一不变的东西。对于追随毕达哥拉斯学派的人来说，数字是有形的、不变的、舒适的、永恒的，比朋友更可靠，也不像阿波罗和宙斯之类的神祇那样可怕。

本书中的许多条目都涉及整数。才华横溢的数学家保罗·艾狄胥（Paul Erdös，1913—1996）对数论——整数的研究十分着迷，他轻而易举地提出了许多关于整数的问题，这些问题的陈述通常很简单，但却是出了名的难解。艾狄胥认为，如果某人提出了一个超过一个世纪未能解决的数学问题，那它一定是与数论有关的问题。

宇宙的许多方面都可以表示为整数。整数模式可以描述雏菊花序的排列、兔子的繁殖、行星的轨道、音乐中的和弦以及元素在周期表中的关系。德国代数学家、数论学家利奥波德·克罗内克（Leopold Kronecker，1823—1891）曾说过：“整数来自上帝，其他的一切都是人造的。”他的意思是，所有数学的主要来源是整数。

自毕达哥拉斯时代以来，把音乐中音阶确定为整数比得到了广泛的共识。更重要的是，整数在人类对科学理解的演化中一直至关重要。例如，法国化学家安托万·拉瓦锡（Antoine Lavoisier，1743—1794）发现，化合物是由相关元素的固定比例组成的，这种固定比例呈现出简单的整数比。这是原子存在的非常有力的证据。1925年，原子激发态发射的光谱线波长之间的整数关系提供了原子结构的早期线索。原子量的整数比证明了原子核是由整数个数的相似核子（质子或中子）组成的。而原子量与整数比的偏差，则促成元素同位素（具有几乎相同的化学性质，但原子核具有不同数量的中子的元素变体）的发现。单一同位素的原子量与精确整数的微小差异，证实了爱因斯坦的著名方程E=mc2，从而也证实了制造原子弹的可能性。整数关系在原子物理学中随处可见。它是数学结构中最基本的组成部分，正如德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯（Carl Friedrich Gauss，1777—1855）所说：“数学是科学的女王，而数论则是数学的女王。”

我们对宇宙的数学描述会一直向前发展下去，但我们的大脑和语言技能却依然十分滞后。我们需要新的思考和理解的方法，才能不断地发现或创造新的数学。例如，在过去的几年里，一些数学史上的著名数学问题已经得到了证明，但却引发了太多太久的争议，这些证明是如此复杂，以致连专家也难以确定它们是否完全正确。比如数学家托马斯·黑尔斯（Thomas Hales）将一篇几何学论文投稿到《数学年刊》（The Journal Annals of Mathematics）后，等待了整整五年时间。专家审查意见结论却是没有发现这篇论文有错误，建议发表，可是必须加上免责声明——他们无法肯定这个证明的正确性！此外，数学家艾克·基思·德夫林（Ike Keith Devlin）在《纽约时报》（New York Times）上承认，“数学的故事已经达到了如此抽象的阶段，以至于它的许多前沿问题甚至专家都难以理解。”如果专家都有这样的麻烦，人们就很容易理解向普罗大众传播数学知识所面临的挑战。我们将尽力而为，虽然数学家可以构建理论、进行计算，但他们可能并不擅长于充分理解、阐述解释或传播这些思想。

可以引用一个物理故事做相关的类比。在20世纪20年代，在维尔纳·海森堡（Werner Heisenberg）担心人类可能永远不能真正理解原子结构时，尼尔斯·波尔（Niels Bohr）则显得很乐观。他回答说：“我想也许我们可以做到这一点，但在这个过程中，我们可能不得不重新认识‘理解’这个词的真正含义。”今天，我们使用计算机来帮助我们超越自己直觉的局限。事实上，用计算机进行的实验正在启发数学家们的观察能力和发现能力，这在没有这些设备之前是无法想象的。计算机和计算机图形学允许数学家能够在他们正式证明之前就发现结果，并开启全新的数学领域。即使是最简单的计算机工具，如电子表格（Spreadsheets，即在线电子表格程序）给现代数学家增添的力量，高斯、欧拉和牛顿都一定会羡慕不已。

作为一个例子，在20世纪90年代末，戴维·贝利（David Bailey）和赫拉曼·弗格森（Helaman Ferguson）设计的计算机程序可以产生将π与log5以及其他两个常数联系起来的公式。正如埃里卡·克拉瑞希（Erica Klarreich）在《科学新闻》（Science News）的报道所说，一旦计算机产生了公式，要证明它是正确的就相对容易了。通常，简单地知道答案是公式证明过程中要克服的最大障碍。

数学理论有时被用来预测直到几年后才被证实的现象。例如，以物理学家詹姆斯·克莱克·麦克斯韦（James Clerk Maxwell）命名的麦克斯韦方程就预言了电磁波。爱因斯坦的场方程则预测，重力会使光弯曲，预言宇宙正在膨胀。物理学家保罗·狄拉克（Paul Dirac）曾指出，我们现在研究的抽象数学使我们得以窥视未来的物理学。事实上，他的方程式预测了反物质的存在，这也在后来被证实。同样，数学家罗巴切夫斯基说，“哪怕再抽象的数学分支，都可能会有一天用于诠释现实世界的现象。”

在这本书中，你会遇到各种有趣的几何学，它们被认为是把握宇宙的钥匙。伽利略·伽利雷（Galileo Galilei，1564—1642）提出“大自然最伟大的著作是用数学符号书写的。”约翰尼斯·开普勒（Johannes Kepler，1571—1630）用柏拉图多面体（如正十二面体）来模拟太阳系。20世纪60年代，物理学家尤金·维格纳（Eugene Wigner，1902—1995）强调说：“数学在自然科学中具有的超乎常理的有效性。”像是E₈这种大李群（Large Lie Group）[请参阅条目“探索李群E₈（2007）”]，也许有一天会帮助我们统一物理学的理论。2007年，瑞典籍美国宇宙学家马克斯·特格马克（Max Tegmark）发表了关于“数学宇宙假说”的一系列科学和通俗文章，指出我们的物理现实就是一种数学结构。换句话说，我们的宇宙不仅仅是用数学来描述而已——它本身就是数学。