第54章 张苍篇之九章算术

与张苍同行的，还有贾生。贾生名谊，雒阳（今河南省洛阳市）人。

在十八岁时就因诵读诗书会写文章而闻名当地。

吴廷尉担任河南郡守时，听说贾谊才学优异，就把他召到衙门任职，并非常器重。

汉文帝刚即位时，听说河南郡守吴公政绩卓著，为全国第一，而且和李斯同乡，又曾向李斯学习过，于是就征召他担任廷尉。

吴廷尉就推荐贾谊年轻有才，能精通诸子百家的学问。

这样，汉文帝就征召贾谊，让他担任博士之职。

他们乘坐牛车四处奔走，每到一处都要听县丞汇报情况，并实地查看，饥餐露宿很是辛苦。

到了晚上，张苍还要点灯修改文章。这时的张苍已经年近八十，精神头十足，令贾生与师曼很是钦佩。

一天傍晚，张苍偶感风寒，倒在了驿站，这可把贾生与师曼吓得不轻，他们几个忙前忙后，找医煎药，五天后，张苍的身体慢慢恢复。

张苍生病的这几天，思考了很多，他感到岁月不饶人，他一生的知识一定要找人传下去，贾生与师曼关于治国理政的知识学习了不少，但是关于数术还是没有领会到其本质。

于是，他令手下把书箱抬来，拿出了他的光辉著作《九章算术》，他要再次手把手教会他们这传世绝学。

《九章算术》的内容十分丰富，全书采用问题集的形式，收有246个与生产、生活实践有联系的应用问题，其中每道题有问（题目）、答（答案）、术（解题的步骤，但没有证明），有的是一题一术，有的是多题一术或一题多术。这些问题依照性质和解法分别隶属于方田、粟米、衰（cuī）分、少广、商功、均输、盈不足、方程及勾股。它们的主要内容分别是：

第一章“方田”：主要讲述了平面几何图形面积的计算方法。包括长方形、等腰三角形、直角梯形、等腰梯形、圆形、扇形、弓形、圆环这八种图形面积的计算方法。

另外还系统地讲述了分数的四则运算法则，以及求分子分母最大公约数等方法。其中例题38个，立术21条。

方田章主要论述平面图形直线形和圆的面积计算方法，第一题“今有田广十五步，从（音纵zong）十六步。问为田几何。”

“答曰：一亩”。这里“广”就是宽，“从”即纵，指其长度，“方田术曰：广从步数相乘得积步，（得积步就是得到乘积的平方步数）以亩法二百四十步（实质应为积步）除之，即亩数。百亩为一顷。”当时称长方形为方田或直田。称三角形为圭田，面积公式为“术曰：半广以乘正从”。

这里广是指三角形的底边，正从是指底边上的高，盈是多余，虚乃不足。

“以盈补虚”就是以多余部分填补不足的部分，这就是我国古代数学推导平面图形面积公式所用的传统的“出入相补”的方法，由上图“以盈补虚”变圭田为与之等积的直田，于是得到了圭田的面积计算公式。

方田章第二十七、二十八题把直角梯形称为“邪田”（即斜田）它的面积公式是：“术曰：并两邪（即两斜，应理解为梯形两底）而半之，以乘正从……，又可半正从……以乘并。”

第二十九、三十题把一般梯形称为“箕田”，上、下底分别称为“舌”、“踵”，面积公式是：“术曰：并踵舌而半之，以乘正从”。

至于圆面积，在第三十一、三十二题中，它的面积计算公式为：“半周半径相乘得积步”。

这里“周”是圆周长，“径”是指直径。这个圆面积计算公式是正确的。

只是当时取径一周三（即π≈3）。于是由此计算所得的圆面积就不够精密。

《九章算术》中有比较完整的分数计算方法，包括四则运算，通分、约分、化带分数为假分数（我国古代称为通分内子，“内”读为纳）等等。其步骤与方法大体与现代的相同。

分数加减运算，明确提出先通分，使两分数的分母相同，然后进行加减。

加法的步骤是“母互乘子，并以为实，母相乘为法，实如法而一”这里“实”是分子。

“法”是分母，“实如法而一”也就是用法去除实，进行除法运算，《九章算术》还注意到两点：其一是运算结果如出现“不满法者，以法命之”。

就是分子小于分母时便以分数形式保留。

其二是“其母同者，直相从之”，就是分母相同的分数进行加减，运算时不必通分，使分子直接加减即可。

求最大公约数的方法称为“更相减损”法，其具体步骤是“可半者半之，不可半者，副置分母子之数，以少减多，更相减损，求其等也。以等数约之。”

这里所说的“等数”就是我们现在的最大公约数。可半者是指分子分母都是偶数，可以折半的先把它们折半，即可先约去2。

不都是偶数了，则另外摆（即副置）分子分母算筹进行计算，从大数中减去小数，辗转相减，减到余数和减数相等，即得等数。

第二章“粟米”：谷物粮食按比例折换；提出比例算法，称为今有术；其中例题46个，立术33条。

粟米章的开始就列举了各种粮食间互换的比率如下：“粟米之法：粟率五十，粝米三十，粺米二十七，糳米二十四，……”

这是说：谷子五斗去皮可得糙米三斗，又可舂得九折米二斗七升，或八拆米二斗四升，……。

例如，粟米章第一题：“今有粟米一斗，欲为粝米，问得几何”。

它的解法是：“以所有数乘所求率为实，以所有率为法，实如法而一”。

第三章“衰分”：提出比例分配法则，称为衰分术。其中例题20个，立术22条。

第四章“少广”：已知面积、体积，反求其一边长和径长等；介绍了开平方、开立方的方法。其中例题24个，立术16条。