第55章 张苍篇之方程

《九章算术》中讲了开平方、开立方的方法，而且计算步骤基本一样。

所不同的是古代用筹算进行演算，现以少广章第12题为例，说明古代开平方演算的步骤，“今有积五万五千二百二十五步。问为方几何”。

“答曰：二百三十五步”。这里所说的步是我国古代的长度单位。

“开方（是指开平方，由正方形面积求其一边之长。）术曰：置积为实（即指筹算中把被开方数放置于第二行，称为实）借一算（指借用一算筹放置于最后一行，用以定位）。

步之（指所借的算筹一步一步移动）超一等（指所借的算筹由个位越过十位移至百位或由百位越过千位移至万位等等，这与现代笔算开平方中分节相当）。

议所得（指议得初商，由于实的万位数字是5，而且2²<5<3²，议得初商为2，而借算在万位，因此应在第一行置初商2于百位）。

以一乘所借一算为法（指以初商2乘所借算一次为20000，置于“实”下为“法”）而以除（指以初商2乘“法”20000得40000，由“实”减去得：55225-40000=15225）除已，倍法为定法，其复除，折法而下（指将“法”加倍，向右移一位，得4000为“定法”因为要求平方根的十位数字，需要把“借算”移至百位）。

复置借算步之如初，以复议一乘之，所得副，以加定法，以除（这一段是指：要求平方根的十位数字，需置借算于百位。

因“实”的千位数字为15，且4×3<15<4×4，于是再议得次商为3。置3于商的十位。

以次商3乘借算得3×100=300，与定法相加为4000+300=4300。

再乘以次商，则得：3×4300=12900，由“实”减去得：15225－12900=2325。

以所得副从定法，复除折下如前（这一段是指演算如前，即再以300×1+4300=4600向右移一位，得460，是第三位方根的定法，再把借算移到个位；又议得三商应为5，再置5于商的个位，以5+460=465，再乘以三商5，得465×5=2325经计算恰尽，因此得平方根为235。）

上述是按算筹进行演算的，看起来似乎很繁琐，实际上步骤十分清楚，易于操作。

它的开平方原理与现代开平方原理相同。其中“借算”的右移、左移在现代的观点下可以理解为一次变换和代换。

《九章算术》时代并没有理解到变换和代换，但是这对以后宋、元时期高次方程的解法是有深远影响的。

第五章“商功”：土石工程、体积计算；除给出了各种立体体积公式外，还有工程分配方法；其中例题28个，立术24条。

商功章收集的都是一些有关体积计算的问题，商功章提到城、垣、堤、沟、堑、渠，因其功用不同因而名称各异，其实质都是正截面为等腰梯形的直棱柱，他们的体积计算方法：“术曰：并上、下广而半之，以高若深乘之，又以袤乘之，即积尺”。

这里上、下广指横截面的上、下底（a，b）高或深（h），袤是指城垣……的长（l）。因此城、垣…的体积计算术公式V=1/2（a+b）h.商功章还有圆锥、圆台（古代称“圆亭”）的体积计算公式。

甚至对三个侧面是等腰梯形，其他两面为勾股形的五面体，上、下底为矩形的拟柱体（古代称“刍童”）以及上底为一线段，下底为一矩形的拟柱体（古代称“刍甍”）（“甍”音“梦”）等都可以计算其体积。

第六章“均输”：合理摊派赋税；用衰分术解决赋役的合理负担问题。

今有术、衰分术及其应用方法，构成了包括今天正、反比例、比例分配、复比例、连锁比例在内的整套比例理论。

西方直到15世纪末以后才形成类似的全套方法。其中例题28个，立术28条。

第七章“盈不足”：即双设法问题；提出了盈不足、盈适足和不足适足、两盈和两不足三种类型的盈亏问题，以及若干可以通过两次假设化为盈不足问题的一般问题的解法。其中例题20个，立术27条。

“盈不足”专讲盈亏问题及其解法，其中第一题：“今有（人）共买物，（每）人出八（钱），盈（余）三钱；人出七（钱），不足四（钱），问人数、物价各几何”，

“答曰：七人，物价53（钱）。”“盈不足术曰：置所出率，盈、不足各居其下。令维乘（即交错相乘）所出率，并以为实，并盈，不足为法，实如法而一……置所出率，以少减多，余，以约法、实。实为物价，法为人数”。

盈不足术是中国数学史上解应用问题的一种别开生面的创造，它在我国古代算法中占有相当重要的地位。

盈不足术还经过丝绸之路西传中亚阿拉伯国家，受到特别重视，被称为“契丹算法”，后来又传入欧洲，“盈不足”的算法需要给出两次假设，是一项创造，中世纪欧洲称它为“双设法”，曾长期统治了他们的数学王国。

第八章“方程”：一次方程组问题；采用分离系数的方法表示线性方程组，相当于现在的矩阵；解线性方程组时使用的直除法，与矩阵的初等变换一致。

这是世界上最早的完整的线性方程组的解法。在西方，直到17世纪才由莱布尼兹提出完整的线性方程的解法法则。

这一章还引进和使用了负数，并提出了正负术——正负数的加减法则，与现今代数中法则完全相同；解线性方程组时实际还施行了正负数的乘除法。

这是世界数学史上一项重大的成就，第一次突破了正数的范围，扩展了数系。其中例题18个，立术19条。

方程章第三题中明确提出了正负术。刘徽在该术的注文里实质上给出了正、负数的定义：“两算得失相反，要令‘正’、‘负’以名之”。

并在计算工具即算筹上加以区别“正算赤，负算黑，否则以邪正为异”。这就是规定正数用红色算筹，负数用黑色算筹。

如果只有同色算筹的话，则遇到正数将筹正放，负数时邪（同斜）放。宋代以后出现笔算也相应地用红、黑色数码字以区别正、负数，或在个位数上记斜划以表示负数，如一八二/（即-182），后来这种包括负数写法在内的中国数码字还传到日本。