第56章 张苍篇之历法

关于正、负数的加减运算法则，“正负术曰：同名相益，异名相除，正无入负之，负无入正之。其异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之”。

这里所说的“同名”、“异名”分别相当于所说的同号、异号。“相益”、“相除”是指二数相加、相减。术文前四句是减法运算法则：

（1）如果被减数绝对值大于减数绝对值，即a>b≥0，

则同名相益：（±a）-（±b）=±（a-b），

异名相除：（±a）-（b）=±（a+b）。

（2）如果被减数绝对值小于减数绝对值，即b>a≥0。

①如果两数皆正

则a-b=a-[a+（b-a）]=-（b-a）。

中间一式的a和a对消，而（b-a）无可对消，则改“正”为“负”，即“正无入负之”。“无入”就是无对，也就是无可对消（或不够减或对方为零）。

②如果两数皆负

则（-a）-（-b）=－a-[（-a）-（b-a）]=+（b-a）。在中间的式子里（-a）和（-a）对消，而-（b-a）无可对消，则改“负”为“正”所以说“负无入正之”。

③如果两数一正一负。则仍同（1）的异名相益。

术文的后四句是指正负数加法运算法则。

（1）同号两数相加，即同名相益，其和的绝对值等于两数绝对值和。

如果a>0，b>0，

则a+b=a+b，（-a）+（-b）=-（a+b）

（2）异号两数相加，实为相减，即异名相除。如果正数的绝对值较大，其和为正，即“正无入正之”。如果负数的绝对值较大，其和为负，即“负无入负之”。用符号表示为

①如果a>b≥0，

则 a+（-b）=[b+（a-b）]+（-b）=a-b，

或（-a）+b=[（-b）－（a-b）]+b=-（a-b）。

②如果b>a≥0，

则 a+（-b）=a+[（-a）-（b-a）]=-（b-a），

或（-a）+b=（-a）+[a+（b-a）]=b-a。

关于正负数的乘除法则，在《九章算术》时代或许会遇到有关正负数的乘除运算。

可惜书中并未论及，直到元代朱世杰于《算学启蒙》（1299年）中才有明确的记载：“同名相乘为正，异名相乘为负”，

“同名相除所得为正，异名相除所得为负”，因此至迟于13世纪末我国对有理数四则运算法则已经全面作了总结。

至于正负数概念的引入，正负数加减运算法则的形成的历史记录，我国更是遥遥领先。

国外首先承认负数的是七世纪印度数学家婆罗门岌多（约598-？）欧洲到16世纪才承认负数。

第九章“勾股”：利用勾股定理求解的各种问题。其中例题24个，立术19条。绝大多数内容是与当时的社会生活密切相关的。

提出了勾股数问题的通解公式：若a、b、c分别是勾股形的勾、股、弦，则a²+b²=c²。在西方，毕达哥拉斯、欧几里得等仅得到了这个公式的几种特殊情况，直到3世纪的丢番图才取得相近的结果，这已比《九章算术》晚约3个世纪了。

勾股章还有些内容，在西方却还是近代的事。

例如勾股章最后一题给出的一组公式，在国外到19世纪末才由美国的数论学家迪克森得出。

张苍编撰并增补的《九章算术》是我国传统文化的瑰宝，《九章算术》内容十分丰富，全书总结了战国、秦、汉时期的数学成就。

同时，《九章算术》在数学上还有其独到的成就，不仅最早提到分数问题，也首先记录了盈不足等问题，《方程》章还在世界数学史上首次阐述了负数及其加减运算法则。

它是一本综合性的历史著作，是当时世界上最简练有效的应用数学，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系。

贾谊与师曼认真聆听恩施张苍的教诲，在今后的几年里帮着张苍重新编撰完善《九章算术》、《上计律》、重新整理修订流传了千年的《颛顼历》和编订了音律。

颛顼历是秦国在西周末期便开始沿用的历法，一直经历了春秋战国时期，直至秦帝国建立之后才将颛顼历法普及全国。

然而汉朝建立之后，仍然遵奉颛顼历为正朔，但出于改朝换代的需要，以及张苍本人的科研精神，就轻而易举地将颛顼历重新修订了一番。

因为原本在秦国使用的“颛顼历”中，与现如今理解的历法观念是有很大差距的。

秦朝是以十月为一年之始，次年的九月为年末。也就是说你穿越回了秦朝，千万不要喜滋滋的认为快到一月份了就要过年了，真正的一年之初是十月份。

“宫、商、角、徵、羽”（读音为gōng shāng jué zhǐ yǔ）是我国五声音阶中五个不同音的名称，类似现在简谱中的1、2、3、5、6。即宫等于1(Do)，商等于2(Re)，角等于3(Mi)，徵等于5(Sol)，羽等于6(La)，亦称作五音。这个也是张苍及其弟子们的贡献。

可惜，天妒英才，贾谊在33岁便因病去世，比他老师张苍还早去世5年。

张苍由于看破人生，懂得保养，活到103岁才去世，从今天来看，张苍也算得上是老寿星了。