2.1.4 定点数的编码表示

定/浮点表示解决了小数点的表示问题。但是，对于一个数值数据来说，还有正/负号的表示问题。计算机中只能表示0和1，因此，正/负号也用0和1表示。这种将数的符号用0和1表示的处理方式称为符号数字化。一般用0表示正号，用1表示负号。

数字化后的符号能否和数值部分一起参加运算呢？为解决该问题，就产生了多种把符号位和数值部分一起编码的方法。因为任意一个浮点数都可用一个定点小数和一个定点整数表示，所以，只需考虑定点数的编码表示，有原码表示法、补码表示法、反码表示法和移码表示法4种定点数编码表示方法。

通常将数值数据在计算机内部编码表示后的数称为机器数，而其值（即现实世界中带有正负号的数）称为机器数的真值。例如，-10（-1010B）用8位补码表示为1111 0110，说明机器数1111 0110B（F6H或0xF6）的真值是-10，或者说，-10的机器数是1111 0110B（F6H或0xF6）。根据定义可知，机器数一定是一个0/1序列，通常缩写成十六进制形式。

假设机器数X的真值X_T的二进制形式（即式中为0或1）如下：

假设对X_T用n位二进制数编码后，机器数X表示如下：

X=X_n-1X_n-2…X₁X₀

机器数X有n位，式中X_i为0或1，其中，第一位X_n-1是数的符号，后n-1位X_n-2…X₁X₀是数值部分。数值数据在计算机内部的编码问题，实际上是机器数X的各位X_i的取值与真值X_T的关系问题。

在上述对机器数X及其真值X_T的假设条件下，下面介绍各种带符号定点数的编码表示。

1.原码表示法

一个数的原码表示由符号位直接跟数值位构成，因此，原码表示法也称符号-数值（sign and magnitude）表示法。原码表示法中，正数和负数的编码表示仅符号位不同，数值部分完全相同。

原码编码规则如下。

• 当X_T为正数时，X_n-1=0，。

• 当X_T为负数时，X_n-1=1，。

原码0有两种表示形式：[+0]_原=0 00…0，[-0]_原=1 00…0。

根据原码定义可知，对于数-10（-1010B），若用8位原码表示，则其机器数为1000 1010B（8AH或0x8A）；对于数-0.625（-0.101B），若用8位原码小数表示，则其机器数为11010000B（D0H或0xD0）。

原码表示法的优点是，与真值的对应关系直观、方便；其缺点是，0的表示不唯一，给使用带来不便，并且原码运算中符号和数值部分必须分开处理。现代计算机中不用原码表示整数，只用原码小数表示浮点数的尾数部分。

2.补码表示法

补码表示法可实现加减运算的统一，即用加法实现减法运算。在计算机中，补码用来表示带符号整数。补码表示法也称2-补码（two's complement）表示法，由符号位后跟真值的模2ⁿ补码构成，因此，在介绍补码的概念之前，先介绍模运算的概念。

（1）模运算

在模运算系统中，若A、B、M满足关系A=B+K×M（K为整数），则记为A≡B（mod M），即A、B各除以M后的余数相同，故称B和A为模M同余。在模运算系统中，一个数与它除以“模”后得到的余数等价。

钟表是一个典型的模运算系统，其模数为12。假定现在钟表时针指向10点，要将它拨向6点，则有以下两种拨法。

• 逆时针拨4格：10-4=6。

• 顺时针拨8格：10+8=18≡6（mod 12）。

因此在模12系统中，10-4 ≡ 10+（12-4）≡ 10+8（mod 12），即-4 ≡ 8（mod 12），称8是-4对模12的补码。同样有-3≡9（mod 12）、-5≡7（mod 12）等。

由上述例子与同余的概念，可得出如下结论：对于某一个确定的模，某个数A减去小于模的另一个数B，可用A加上-B的补码来代替。这是补码可借助加运算实现减运算的理论基础。

例2.9 假定在钟表上只能顺时针方向拨动时针，如何用顺拨的方式实现将指向10点的时针倒拨4格？拨动后钟表上是几点？

解：钟表是一个模运算系统，其模为12。根据上述结论，可得：

10-4≡10+（12-4）≡10+8≡6（mod 12）

因此，可从10点顺时针拨8（-4的补码）格来实现倒拨4格，最后是6点。

例2.10 假定算盘只有4档，且只能做加法，则如何用该算盘计算9828-1928的结果？

解：这个算盘是一个“4位十进制数”模运算系统，其模为10⁴。根据上述结论，可得：

9828-1928≡9828+（10⁴-1928）≡9828+8072≡7900（mod 10⁴）

因此，可用9828加8072（-1928的补码）来实现9828减1928的功能。

显然，在只有4档的算盘上运算时，若运算结果超过4位，则高位无法在算盘上表示，只能用低4位表示结果，留在算盘上的值相当于除以10⁴后的余数。

推广到计算机内部，n位运算部件就相当于只有n档的二进制算盘，其模为2ⁿ。

计算机中的存储、运算和传送部件位宽有限，相当于有限档数的算盘，因此计算机中所表示的机器数的位宽也有限。在两个n位二进制数的运算过程中，可能会产生一个多于n位的结果。此时，计算机和算盘一样，只能舍弃高位而保留低n位，这样做可能会产生以下两种结果。

• 剩下的低n位数不能正确表示运算结果，即舍弃的高位是运算结果的一部分。例如，在两个同号数相加时，相加得到的和超出n位数可表示的范围，称此时发生了溢出（overflow）现象。

• 剩下的低n位数能正确表示运算结果，即高位的舍弃并不影响其运算结果。在两个同号数相减或两个异号数相加时，运算结果就是这种情况。舍去高位的操作相当于“将一个多于n位的数除以2ⁿ，保留其余数作为结果”的操作，即“模运算”操作。如例2.10中最后相加的结果为17 900，但因为算盘只有4档，最高位的1自然被丢弃，得到正确的结果7900。

（2）补码的定义

根据上述同余的概念和数的互补关系，可引出补码的表示：正数的补码，符号为0，数值部分是它本身；负数的补码等于模与该负数绝对值之差。因此，数X_T的补码可用如下公式表示：

• 当X_T为正数时，[ X_T]_补=X_T=M+X_T（mod M）；

• 当X_T为负数时，[ X_T]_补=M-|X_T|=M+X_T（mod M）。

因此得到以下结论：对于任意一个数X_T，[ X_T]_补=M+X_T（mod M）。

对于具有一位符号位和n-1位数值位的n位二进制整数的补码来说，其补码定义如下：

[X_T]_补=2ⁿ +X_T（-2^{n -1}≤X_T＜2^{n -1}，mod 2ⁿ ）

（3）特殊数据的补码表示

通过以下例子说明几个特殊数据的补码表示。

例2.11 分别求出补码位数为n和n+1时-2^{n -1}的补码表示。

解：当补码位数为n时，其模为2ⁿ ，因此

[-2^{n -1}]_补=2ⁿ -2^{n -1}=2^{n -1}（mod 2ⁿ ）=1 0…0（n-1个0）

当补码位数为n+1时，其模为2^{n +1}，因此

[-2^{n -1}]_补=2^{n +1}-2^{n -1}=2ⁿ +2^{n -1}（mod 2^{n +1}）=1 10…0（n-1个0）

从该例可知，同一个真值在不同位数的补码表示中，其对应的机器数不同。因此，在给定编码表示时，一定要明确编码的位数。在机器内部，编码的位数就是机器中运算部件的位数。

例2.12 设补码位数为n，求-1的补码表示。

解：对于整数补码有：[-1]_补=2ⁿ -1=11…1（n个1）。

对于n位补码表示来说，2^n-1的补码为：

[2^{n -1}]_补=2ⁿ +2^{n -1}（mod 2ⁿ ）=2^{n -1}=1 0…0（n-1个0）

最高位为1，说明对应的真值是负数，与实际真值不符，显然n位补码无法表示2^n-1。由此可知，在n位补码定义中，真值的取值范围包含-2^n-1，但不包含2^n-1。

例2.13 求0的补码表示。

解：根据补码的定义，有：

[+0]_补=[-0]_补=2ⁿ ± 0=1 00…0（mod 2ⁿ ）=0 0…0（n个0）

从上述结果可知，补码0的表示是唯一的。这带来了以下两个方面的好处：

• 减少了+0和-0之间的转换。

• 少占用一个编码表示，使补码比原码能多表示一个最小负数。在n位原码表示的定点数中，100…0用来表示-0，但在n位补码表示中，-0和+0都用00…0表示，因此，正如例2.11所示，100…0可用来表示最小负整数-2^n-1。

（4）补码与真值之间的转换

根据定义，求一个正数的补码时，只需将正号（+）转换为0，数值部分无须改变；求一个负数的补码时，需要做减法运算。

例2.14 设补码的位数为8，求110 1100和-110 1100的补码表示。

解：补码的位数为8，说明补码数值部分有7位，根据补码定义可得

[110 1100]_补=2⁸+110 1100=100000000+110 1100（mod 2⁸）=0110 1100

[-110 1100]_补=2⁸-110 1100=100000000-110 1100

=10000000+10000000-110 1100

=10000000+（111 1111-110 1100）+1

=10000000+001 0011+1（mod 2⁸）=1001 0100

本例中是两个绝对值相同、符号相反的数。其中，负数的补码计算过程中，第一个10000000用于产生最后的符号1，而第二个10000000被拆为111 1111 + 1，而（111 1111-110 1100）实际上是将数值部分110 1100各位取反。模仿这个计算过程，不难推导出负数补码计算的一般步骤：符号位为1，数值部分“各位取反，末位加1”。

因此，可用以下简单方法求一个数的补码：对于正数，符号位取0，其余位与真值相同；对于负数，符号位取1，其余各位由数值部分“各位取反，末位加1”得到。

例2.15 假定补码位数为8，用简便方法求X=-110 0011的补码表示。

解：[X]_补=1 001 1100+0000 0001=1 001 1101。

对于由负数补码求真值的简便方法，可通过以上由真值求负数补码的计算方法得到。对于符号位为1的补码，其真值的符号为负，数值部分先减1再取反。例如，对于例2.15中的补码表示1 001 1101，数值部分通过计算111 1111-（001 1101-1）得到，该计算可以变为（111 1111-001 1101）+1，即进行“取反加1”操作。因此，由补码求真值的简便方法如下：若符号位为0，则真值的符号为正，其数值部分不变；若符号位为1，则真值的符号为负，其数值部分的各位由补码“各位取反，末位加1”得到。

例2.16 已知[X_T]_补=1 011 0100，求真值X_T。

解： X _T=-（100 1011+1）=-100 1100。

根据上述有关补码和真值转换规则，不难发现，根据补码[X_T]_补求[-X_T]_补的方法如下：对[X_T]_补“各位取反，末位加1”。这里要注意最小负数取负后会溢出。

例2.17 已知[X_T]_补=1 011 0100，求[-X_T]_补。

解：[-X_T]_补=0 100 1011+0000 0001=0 100 1100。

例2.18 已知[X_T]_补=10000000，求[-X_T]_补。

解：[-X_T]_补=0 111 1111+00000001=10000000（结果溢出）。

例2.18中出现了“两个正数相加，结果为负数”的情况，因此，结果与实际真值不符，称为结果溢出，该例中，8位整数补码1000 0000对应的是最小负数-2⁷，对其取负后的值为2⁷（即128），8位整数补码能表示的最大正数为2⁷-1=127，显然128无法用8位补码表示，结果溢出。

（5）变形补码

为了便于判断运算结果是否溢出，某些计算机中采用一种双符号位的补码表示方式，称为变形补码，也称为模4补码。在双符号位中，左符是真正的符号位，右符用来判断溢出。

假定变形补码的位数为n+1（其中符号占2位，数值部分占n-1位），则变形补码表示如下：

[X_T]_变补=2ⁿ⁺¹+X_T（-2^n-1≤X_T＜2^n-1，mod 2ⁿ⁺¹）

例2.19 已知X _T=-1011，分别求出变形补码取6位和8位时[X_T]_变补的编码。

解：[X_T]_变补=2⁶-1011=1000000-001011=110101。

[X_T]_变补=2⁸-1011=100000000-00001011=11110101。

3.反码表示法

负数的补码可采用“各位取反，末位加1”的方法得到，若仅各位取反而末位不加1，则可得到负数的反码表示。

反码表示法存在以下不足：0的表示不唯一；表数范围比补码少一个最小负数；运算时必须考虑循环进位。因此，反码在计算机中很少使用，有时用作数码变换的中间表示形式。

4.移码表示法

浮点数用两个定点数表示，用定点小数表示浮点数尾数，用定点整数表示浮点数的阶（即指数）。一般情况下，浮点数的阶用一种称为移码的编码表示。阶的编码表示称为阶码。

阶可能为正数或负数，进行浮点数加减运算时，必须先对阶（即比较两个数阶的大小并使之相等）。为简化对阶操作，使操作过程不涉及阶的符号，可对阶加上一个常数，该常数称为偏置常数（bias），使所有阶都转换为正整数，这样，在比较浮点数的阶时，就是比较两个正整数，因而可直观地从左到右按位对比两个数，从而简化对阶操作。

假设表示阶E的移码的位数为n，则[E]_移=偏置常数+E，通常，偏置常数取2^n-1或2^n-1-1。