1.7 二维拉普拉斯变换

传统的一维拉普拉斯变换是为简化计算而建立的一维实变量函数和一维复变量函数间的一种函数变换。在一维拉普拉斯变换中，实变量函数和复变量函数的变量只有一个，如x（t）和X（s），见定义1.9。

定义1.9 一个一维实变量函数x（t）的一维拉普拉斯变换定义为

式中，s为复变量。

定义1.10 一个一维复变量函数X（s）的一维拉普拉斯反变换定义为

式中，s为复变量。

对一个一维实变量函数做一维拉普拉斯变换，并在复数域中做各种运算，再将运算结果做拉普拉斯反变换来求得实数域中的相应结果，往往比直接在实数域中求出同样的结果在计算上容易得多。

一维拉普拉斯变换的这种运算步骤对于求解线性微分方程尤为有效，它可以把微分方程化为容易求解的代数方程来处理，从而使计算简化。在经典控制理论中，对控制系统的分析和综合，都是建立在一维拉普拉斯变换的基础上的。引入一维拉普拉斯变换的一个主要优点就是可采用传递函数代替微分方程来描述系统的特性。这就为采用直观和简便的图解方法来确定控制系统的整个特性（信号流程图、动态结构图）、分析控制系统的运动过程（奈奎斯特稳定判据、根轨迹法），以及综合控制系统的校正装置（控制系统校正方法）提供了可能性。

如果实变量函数为二维，即实变量函数的变量有两个，如x（t1，t2），则定义1.9的一维拉普拉斯变换需要推广，有二维拉普拉斯变换的定义如下。

定义1.11 一个二维序列x（t1，t2）的二维拉普拉斯变换定义为

式中，s1和s2为复变量。

定义1.12 一个二维复序列X（s1，s2）的二维拉普拉斯反变换定义为

式中，s1和s2为复变量。

掌握线性二维连续系统的系统特性需要对系统函数进行分析。在描述线性二维连续系统的瞬间动态行为上，二维拉普拉斯变换起到了重要的作用。运用二维拉普拉斯变换方法，可以把线性时不变二维系统的时域模型简便地变换到二维复频域（s1，s2），经求解再还原为时间函数。

不同于一维拉普拉斯变换，二维拉普拉斯变换方法是求解常系数线性偏微分方程的工具，而一维拉普拉斯变换是求解常系数线性微分方程的工具。

二维拉普拉斯变换将二维时域中两函数的卷积运算转换为变换域中两函数的乘法运算。在此基础上，可建立二维系统传递函数的概念，这一重要概念的应用为研究二维信号经线性二维系统传输问题提供了有效方法。

由于拉普拉斯变换只用到了函数x（t1，t2）在t1≥0，t2≥0的部分，为方便起见，在拉普拉斯变换中提到的函数一般均约定在t1<0，t2<0的部分为零。换句话说，函数x（t1，t2）等价于函数x（t1，t2）u（t1，t2）.

像函数X（s1，s2）通常仅在复空间（s1，s2）上的某个区域内存在，此区域称为存在域，它一般是Res1>0，Re>s2。只要函数x（t1，t2）不比某个指数函数增长得快，则它的二维拉普拉斯变换一定存在，因此我们所接触到的绝大多数函数的二维拉普拉斯变换都是存在的，在进行二维拉普拉斯变换时，常常略去存在域。

与一维拉普拉斯变换类似，二维拉普拉斯变换具有如下性质。

性质1.16（线性性质）

L[c1x1（t1，t2）+c2x2（t1，t2）]=c1X1（s1，s2）+c2X2（s1，s2） （1.87）

性质1.17（导数性质）

式中，L1表示对x（t1，t2）的第1个变量取拉普拉斯变换。

式中，L2表示对x（t1，t2）的第2个变量取拉普拉斯变换。

性质1.18（积分性质）

性质1.19（相似性质）

性质1.20（延迟性质）

性质1.21（位移性质）

性质1.22（卷积性质）