1.1 二维离散信号

二维离散信号是由两个变量表示的二维函数。常见的数字图像的二维函数值代表图像在该点的亮度，也称为像素。像素意味着只在该点有亮度，而在其他点上的亮度均假设为零。因此，任意一幅图像，就可以用不同像素的线性组之和来表示。每一个像素相当于连续图像信号的一个抽样脉冲。这样，视觉感知的二维连续图像信号就变成了离散的二维序列。数字图像的分辨率由单位面积内的像素数即抽样脉冲数决定，单位面积内的像素数越多，则数字图像的分辨率越高，但随之而来的数字信号存储量与计算量也越大。

常用的二维序列有单位抽样序列、单位阶跃序列、指数序列及正弦序列等。它们的数学表达式可按其如下定义写出。

1.1.1 二维单位抽样序列

如一维情况，二维单位抽样序列又称为二维单位脉冲，定义为

因此，二维单位脉冲等于两个一维单位脉冲的乘积，即δ（n1，n2）=δ（n1）δ（n2）。很明显，对于有延迟（k1，k2）点处的二维单位脉冲，可写成：

二维单位脉冲δ（n1，n2）可用来确定二维离散系统的冲激响应，将δ（n1，n2）作为系统的输入信号，测试系统的输出信号，即得到该二维离散系统的冲激响应h（n1，n2）。利用二维离散系统的冲激响应h（n1，n2）与输入二维离散信号卷积，则可以实现对二维离散信号的数字滤波。

1.1.2 二维单位阶跃序列

二维单位阶跃序列u（n1，n2）是在（n1，n2）平面的第一象限为1，而在其他象限内都为0的序列，即

二维单位阶跃序列u（n1，n2）可以用来确定二维离散系统的阶跃响应。

1.1.3 二维指数序列

二维指数序列定义为

二维指数序列的实际应用较少，主要用做系统分析时的测试序列。

1.1.4 二维正弦序列

二维正弦序列具有如下形式：

x（n1，n2）=Acos（ω1n1+φ1）cos（ω2n2+φ2） （1.5）

式中，ω1和ω2分别为对应于两个变量n1和n2的数字角频率，或简称为频率；φ1和φ2为相应的初始相位。

二维正弦序列可以用来确定系统的频率响应。

1.1.5 单位二维复指数序列

单位二维复指数序列的形式为

x（n1，n2）=exp[j（ω1n1+ω2n2）]=cos（ω1n1+ω2n2）+jsin（ω1n1+ω2n2） （1.6）

式中，exp（*）=e（*）。x（n1，n2）可用来确定二维离散系统的频率响应，将单位二维复指数序列作为系统的输入信号，测试系统的输出信号，即得到该二维离散系统的冲激响应频率响应H（ω1，ω2）。

如果二维序列可以分解成两个一维序列，则有：

x（n1，n2）=x（n1）x（n2） （1.7）

但是，二维序列不论是何种性质的序列，它的一般表示式为

上述位移的单位脉冲δ（n1-k1，n2-k2）描述位于（k1，k2）点处有幅度为x（k1，k2）的信号。在数学上，这种δ（n1，n2）通常称为二元的δ（狄拉克）函数。它具有一些很重要的性质，这些性质可以由确定它的函数所具有的性质的极限推导出来，这里仅给出如下几个基本性质。

性质1.1 当二维函数x（t1，t2）在（t1，t2）平面的原点连续时，有：

在性质1中，（t1，t2）为二维连续信号。一般视觉所观测到的信号，未经数字化时，可视为二维连续信号。

性质1.2 更一般地以δ（t1-k1，t2-k2）代替式（1.9）中的δ（t1，t2），当x（t1，t2）在（k1，k2）连续时，可得：

显然，式（1.10）对任一包含（k1，k2）这一点的区域上的积分仍然成立。因此，式（1.10）所表示的性质通常称为δ函数的筛选性质。二维离散信号x（k1，k2）是二维连续信号x（t1，t2）的采样，由x（t1，t2）离散化而得到。

性质1.3 利用δ函数的筛选性质，可以对一函数x（t1，t2）进行分解，只需将式（1.10）的符号做一形式上的改变，可得：

在这种分解中，基元函数是不同位置上的δ函数，也就是说x（n1，n2）所描述的信号可以由不同像素的线性和来表示。