命题III.25

已知弓形，可以作出它的补圆。

设：ABC为给定的弓形。

现在要求的是作出弓形ABC的补圆。

令：在D点上平分AC，从D点作DB垂直于AC。连接AB（命题I.10、I.11）。

于是∠ABD大于或者等于或者小于∠BAD。

首先，设∠ABD大于∠BAD。在线段BA上作∠BAE，使之过A，并等于∠ABD，延长BD至E，连接EC（命题I.23）。

因为：∠ABE等于∠BAE，线段EB也等于EA（命题I.6）。

又，因为：AD等于DC，而DE是共同边，AD、DE分别等于对应边CD、DE，∠ADE等于∠CDE，皆为直角。

所以：第三边AE等于第三边CE（命题I.4）。

又，AE也可以证明等于BE，BE也等于CE，所以：三条线段AE、EB和EC彼此相等。

所以：以E为圆心和线段AE、EB及EC之一为半径作圆，可以经过其余的点且得到补圆（命题III.9）。

所以：给定一个弓形，可以作出补圆。

又很明显的，弓形ABC小于半圆，因为圆心E在它的外面。

同样，即使∠ABD等于∠BAD，AD等于BD或DC，三条线段DA、DB和DC将彼此相等，D将为整圆的圆心，弓形ABC将为半圆。

又，如果∠ABD小于∠BAD，如果在线段BA及点A上作角等于∠ABD，那么圆心将落在弓形ABC的DB上，弓形ABC将明显大于半圆（命题I.23）。

所以：给定一个弓形，可以作出它的补圆。

证完

注解

这一命题在《原本》中没有再被利用。