3.2 货币的时间价值

货币的时间价值是指货币经历一定时间的投资和再投资所增加的价值，也称为资金的时间价值。在财务管理中，货币的时间价值地位关键，在筹资、投资以及经营的决策和计划当中都需要考虑。正是由于考虑了货币的时间价值，才能够将不同时间点的不同现金流量折算到相同的时间点进行比较分析，使决策分析更加科学。本节中主要介绍了货币时间价值的一些常见的计算公式，这些公式不仅在企业财务决策中起重要作用，对我们的日常理财也颇有裨益。

3.2.1 单利终值

终值又称将来值（F），是指现在一定量的资金折算到未来某一时点所对应的金额。单利终值指按单利计算出来的资金未来的价值，也就是按单利计算出来的本金与未来利息之和。

单利终值计算公式如下：

单利终值F=P×（1+i×n）

式中：P——本金；

i——年利率。

例3-7 杨先生第1年年初存入银行现金1000元，年利率为3%，在单利计息的情况下，请分别计算一年后杨先生可以领取本利和多少钱，如果两年后领取，则是多少。

【解析】第1年年末终值=1000×（1+3%×1）=1030（元）；

第2年年末终值=1000×（1+3%×2）=1060（元）

3.2.2 单利现值

现值（P）是指未来某一时点上的一定量资金折算到现在所对应的金额。单利现值是指按照单利计息的方式，将未来的资金折算到现在的价值。单利现值计算公式如下：

单利现值P=F/（1+i×n）

例3-8 杨先生将一笔资金存入银行，已知银行存款的年利率为3%。在单利计息的情况下，两年后杨先生从银行共领取到本利合计1 060元，请计算本金额。

【解析】假定本金为P，两年后本利和F，则由题可知P=1060÷（1+3%×2）=1000（元）。

3.2.3 复利终值

复利终值是指在每经过一个计息期后，都要将所生利息加入本金，以计算下期的利息。这样，在每一计息期，上一个计息期的利息都要成为生息的本金，即以利生利，也就是俗称的“利生利”。具体如图3-4所示：

复利终值计算公式如下：

复利终值F=P×（1+i）ⁿ，（1+i）ⁿ称为复利终值系数，即（F/P，i，n）。

例3-9 杨先生以复利计息的方式借入1000元，年利率为8%，假定在第四年年末偿还。请计算需要偿还的本息和。

【解析】F=P×（1+i）ⁿ=1000×（1+8%）⁵=1360.489（元）

3.2.4 复利现值

复利现值是复利终值的对称概念，是指未来一定时间的特定资金按复利计息方式折算的现在价值，或者说是为取得将来一定复利计息的本利和，现在所需要的本金。具体如图3-5所示：

复利现值计算公式如下：

复利现值P=F/（1+i）ⁿ，1/（1+i）ⁿ称为复利终值系数，即（P/F，i，n）。

提示 复利终值和复利现值互为逆运算，复利终值系数（1+i）ⁿ和复利现值系数1/（1+i）ⁿ互为倒数。

例3-10 A公司计划购置一件新设备，有两种支付方式：一是现在一次性付80万元，二是5年后支付100万元。如果现在的银行利率是7%，请分别使用终值、现值的计息方式做出决策，使用哪种支付方式更合理。

【解析】

（1）用终值进行判断：

方案1付款终值F=80×（F/P，7%，5）=80×1.4026=112.21（万元）

方案2付款终值F=100（万元）

方案2的付款终值小于方案1的付款终值，应选择方案2。

（2）用现值进行判断：

方案1付款现值P=80（万元）

方案2付款现值P=F×（P/F，i，n）=100×（P/F，7%，5）=100×0.713=71.3（万元）

方案2付款现值小于方案1，应选择方案2。

3.2.5 普通年金终值

年金是指一定时期内系列等额收付的款项。其特点是：其一，金额相等；其二，时间间隔相等。普通年金是指从第一期开始每期期末收款、付款的年金。具体如图3-6所示：

普通年金终值是指最后一次收、付时的本利和。它是每次收、付的复利终值之和。按复利换算到最后一期期末的终值，然后加总，就是该年金终值。如果年金相当于零存整取储蓄存款的零存数，那么年金终值就是零存整取的整取数。普通年金终值计算公式如下：

普通年金终值，被称为年金终值系数，即（F/A，i，n）。

例3-11 杨先生为退休生活做准备，从现在起每年年末向银行存入10000元，直至退休为止共15年，银行存款利率为3%，请计算到杨先生退休当年可以领取的本利和共多少钱。

【解析】由题可知，A=10000，n=15，i=3%，（F/A，3%，15）=18.59

则F=10000×（F/A，3%，15）=185900（元）。

3.2.6 即付年金终值

即付年金又称预付年金，是指从第一期开始每期期初收款、付款的年金，即付年金与普通年金的区别在于付款时间的不同。如图3-7所示：

即付年金终值是一定时期内每期期初等额收付款项的复利终值之和。即付年金终值的计算通过调整普通年金终值来实现。

提示1 先求普通年金终值，再调整计息期，即两者的付款期相同，但是即付年金终值比普通年金终值的计息期多一期，如图3-8所示：

即付年金终值：F=A×（F/A，i，n）×（1+i）

提示2 先调整计息期，这时（n+1）期的即付年金终值与n期的普通年金终值的计息期相同，但是前者比后者多一期付息期，需要再减去A，如图3-9所示：

即付年金终值：F=A×[（F/A，i，n+1）-1]

例3-12 A企业为了提高自身创新能力，设立了创新基金，每年年初投入100万元，当时银行利率为10%，请计算五年后该创新基金的本利和。

【解析】方法一：100×（F/A，10%，5）（1+10%）=671.56（万元）；

方法二：100×[（F/A，10%，6）-1]=671.56（万元）。

3.2.7 递延年金终值

递延年金又称“延期年金”，是指在最初若干期没有收付款项的情况下，后面若干期等额的系列收付款项。它是普通年金的特殊形式，计算递延年金终值和计算普通年金终值基本一样，只要注意扣除递延期即可。如图3-10所示：

递延年金终值：F=A×（F/A，i，n）

例3-13 杨先生今年50岁，投资了一份商业分红保险，前三年无须缴纳保金，从第四年年末开始每年年末缴纳保金1000元，保险年收益为5%。请计算到60岁退休时，杨先生可以连本带息提取的本息和数额。

【解析】杨先生从50岁开始投保到60岁提取保金本息和，共10年，前三年不用缴纳保金，递延期为三年，第四年开始共缴纳7年，即m=3，A=1000，n=7，i=5%。

则本息和=A×（F/A，i，n）=1000×8.142=8142（元）

3.2.8 普通年金现值

普通年金现值是指为在每期期末收付相等金额的款项，现在需要投入或收取的金额。具体如图3-11所示：

普通年金现值：，被称为年金现值系数，即（P/A，i，n）。

例3-14 A公司2018年处置其所属的一栋商业大厦，有甲、乙两个购买方采取分期付款的购置方式。甲方从获取大厦当年开始，每年年末向A公司交纳10万元的开采费，直到10年后开采结束。乙公司的投标书表示，直接付给A公司40万元，在第8年年末再付给60 万元。如A公司要求的年投资回报率达到15%，问应接受哪个公司的投标？

【解析】通过计算现值的方式，比较现值大小，即：

甲公司普通年金现值P=A×（P/A，i，n）=10×（P/A，15%，10）=10×5.0188=50.188（万元）；

乙公司现值如下：第1笔收款（40万元）发生在0时点，其现值就是40（万元）；

第2笔收款（60万元）的现值=60×（P/F，15%，8）=60×0.3269=19.614（万元）；

现值合计=40+19.614=59.614（万元）

甲公司付出的款项现值小于乙公司付出的款项的现值，因此，A公司应接受乙公司的购买。

3.2.9 即付年金现值

即付年金是指在每期期初收付的年金，又称预付年金或期初年金。即付年金现值是指将每期期初收付的年金款项折算到当期得到的数额，计算时，一般通过调整普通年金现值来实现。

提示1 先求普通年金现值，再调整折现期，即两者的收付款期相同，但是即付年金现值比普通年金现值的折现期少一期，需要再乘上普通年金现值多折现的系数，如图3-12所示：

即付年金现值：P=A×（P/A，i，n）×（1+i）

提示2（n-1）期的普通年金现值的折现期与n期的即付年金现值相等，但是收付款期要少一期，需要再加上少的那一期年金，如图3-13所示：

即付年金现值：P=A×[（P/A，i，n-1）+1]

例3-15 A公司财务部的助理在计算公司新创基金现值时发现，该基金每年年初支付等额的100万元，连续支付5年，已知年利率为8%，且普通年金现值系数（P/A，8%，5）=3.992 7，请计算A公司该基金项目的现值额。

【解析】利率为8%，年金个数为5的预付年金现值系数=（P/A，8%，5）×（1+8%）=4.3121；

则A公司该基金的现值=100×4.3121=431.21（万元）。

3.2.10 递延年金现值

递延年金是指在第二期或第二期以后收付的年金，这里的递延是相对于普通年金而言的，由于普通年金是从第一期期末开始收付的，所以，在计算递延年金现值的时候需要根据普通年金现值进行调整。具体如下：

提示1 将整个时期划分为两个阶段，先求出递延期m点以后各期年金的普通年金现值，再将该m点的普通年金现值从递延期期末折现到当期0 点。如图3-14所示：

递延年金现值：P=A×（P/A，i，n）×（P/F，i，m）

提示2 先假定递延期也照常款项收付，计算递延期的普通年金现值，再计算递延期+收付款期的普通年金现值，将后者减去前者的差额即为递延年金现值。如图3-15所示：

递延年金现值：P=A×（P/A，i，m+n）-A×（P/A，i，m）

提示3 先求收付款期的年金终值，再将终值按照“递延期+收付款期”复利折现。如图3-16所示：

递延年金现值：P=A×（F/A，i，n）×（P/F，i，m+n）

例3-16 A企业2017年计划投资一项基金为以后转型升级做准备，该基金前三年无须支付款项，后五年每年年初支付500万元，假定年利率10%，请计算该基金的现值。

【解析】A公司该基金属于递延年金，递延期为2，现值=500×（P/A，10%，5）×（P/F，10%，2）=500×3.791×0.826=1565.68（万元）

3.2.11 永续年金现值

永续年金是指无限期的收入或支出相等金额的年金，也称永久年金。它是普通年金的一种特殊形式，永续年金期限趋于无限，没有终止时间，所以又称无限期的普通年金。它没有终止值，只有现值。永续年金现值计算公式如下：

永续年金现值：P=A/i

例3-17 A公司在2017年为增效创收，投资了一项基金，该基金没有终止期限，每年年末可以提取30 万元，已知银行利率为3%，请计算A公司该基金的现值。

【解析】该基金属于永续年金，A=30，i=3%，则现值=30÷3%=1000（万元）。

3.2.12 偿债基金

一般企业为了偿还到期债务的本息和，常常在债务的存续期设立基金，按期等额缴纳年金，以便在债务到期时恰好使用基金本息和偿还债务本息和。偿债基金实质上是普通年金终值的逆运算，即已知普通年金终值，求普通年金额。如图3-17所示：

偿债基金计算公式如下：

偿债基金：A=F/（F/A，i，n），1/（F/A，i，n）称为“偿债基金系数”，即（A/F，i，n）

提示 普通年金终值系数与偿债基金系数互为倒数。

例3-18 已知A企业向B企业借款修筑厂房，签订协议10年后归还本息和1000万元，银行存款利率为2%，A企业为了保证到期足额偿还B企业的借款，设立了偿债基金，每年年末需要向基金缴存的年金。请计算该年金的数额。

【解析】已知终值求年金，即计算偿债基金。

该年金A=1000/（F/A，2%，10）=1000÷10.95=91.3242（万元）

3.2.13 年资本回收额

年资本回收额是指在约定年限内等额回收初始投入资本或清偿所欠债务的金额。每次等额回收或清偿的数额相当于年金，初始投入的资本或所欠的债务就是年金现值。实质上是已知普通年金现值，求普通年金额。如图3-18所示：

年资本回收额计算公式如下：

年资本回收额：A=P/（P/A，i，n），1/（P/A，i，n）称为资本回收系数，即（A/P，i，n）

提示1 普通年金现值系数与投资回收系数互为倒数。

例3-19 A企业在2017年年末考察一个基金项目，初始投资额为1000万元，银行利率为2%，已知项目协议中规定，基金收益期为10年，且每期期末收益额相等，请计算每期期末收益额为多少时，A企业才会进行投资。

【解析】已知初始投资额为1000万元，且协议收益期10年，每年年末收益相等，通过求年资本回收额进行投资决策。

年资本回收额A=P/（P/A，i，n）=1000÷（P/A，2%，10）=1000÷8.9826=111.33（万元），则当年收益额≥111.33万元时，A企业才会进行投资。

提示2 本节的指标框架体系如图3-19所示：