第二节 “测量概念”上位知识的系列研究

与测量概念有关的上位数学知识主要包括：什么是量，什么是计量，计量制度的发展概况，测量的意义，测量概念的内在结构关系等。只有了解了这些上位数学知识，才能进一步理解测量概念的认识过程与规律，从而更好地把握测量概念的本质。

一、什么是量

人们在观察和研究周围的事物时，常常要比较或测定它们的长短、大小、轻重等，这些可以比较或测定的事物的性质都是量。

量可以分为不连续量和连续量两种。例如，停车场里的汽车数，人行道上的人数，都是不连续量；物体的长度、面积、体积、质量以及时间、温度等，都是连续量。在数学、物理以及力学中，又把量分为下面两种：一种是只有大小的量，叫作标量（也叫数量），长度、质量、时间、温度、面积、体积等，都是标量；另一种是既有大小又有方向的量，叫作向量，力、速度、加速度、电场强度等，都是向量。

在小学数学教学中，常用的量有长度、面积、体积、质量、时间等。

二、什么是计量

所谓计量就是把一个未知量同一个作为标准的同类量进行比较的过程。用来作为计量的标准的量，叫作计量单位。

由于不同的需要，计量一种量往往有几个大小不同的计量单位，我们把其中的一个作为基本单位，其他的称为辅助单位。在同类的计量单位中，一个较大的计量单位是较小的计量单位的若干倍，这个数值叫作这两个单位间的进率。

计量过程比计数复杂，选定一个计量单位来计量某一个量，结果往往不能得到整数量数，需要再选定一个较小的单位来计量剩下的部分。用这个较小的单位来计量，如果还不能得到整数量数，那么要想量得更精确，就需要再选定一个更小的单位来计量。

常用的计量方法有两种，一种是把要计量的量直接同计量单位进行比较，叫作直接计量；另一种是先直接计量有关的量，再通过计算才能得到要计量的量的结果，这样的计量叫作间接计量。例如，求图形的面积等，通常都是用间接计量。

三、计量制度的发展概况

计量起源很早，自从人类使用劳动工具从事简单的生产劳动时起，就开始进行计量。最初，计量是直接比较两个量的长短、轻重、大小，等等。后来，逐渐发展到用一拃、一庹、一步来量长度、距离等。显然，使用这些自然的计量工具是不科学的，因而逐渐产生了比较合理的计量制度，即根据某些标准来规定计量单位，并确定同类计量单位间的进率。但是在国与国之间，地区与地区之间，计量制度仍不相同。随着物质生产和科学技术的发展，国际贸易的增加，进一步要求建立全世界统一的计量制度。

国际计量大会于1960年通过了一种国际单位制，推荐各国采用。国际单位制以长度单位“米”、质量单位“千克”、时间单位“秒”等为基本单位，从而建立了一种统一的计量单位制。

四、为什么说测量推动了数学的发展

长度测量发展的历史源远流长，数学史家推测，只有当人类有了改造自然的愿望与需求时，才会产生测量的需求。测量在数学发展中的推动作用，主要体现在数概念的扩展中，除此之外，测量对于形的发展也功不可没。

在小学数学教学中，通常利用测量长度的活动引入分数的认识，这种活动的目的就是让学生体会测量推动了数概念的扩展——由正整数扩展到分数，尽管不能确定测量是分数产生的本源，但是通过这样的教学展示分数产生的必要性，彰显了数学文化。

古代的数学问题大都与图形的测量相关，测量也推动了形的发展。以我国古代的数学名著《九章算术》为例，这一著作大约成书于公元1世纪。其中，第一章是“方田”，主要讲述几何图形面积的计算方法；第四章是“少广”，包括已知矩形面积求一边之长等问题。这些内容都与几何图形的大小测量息息相关，是两千年来我国数学教育的重要内容。

五、如何从整体上认识和把握长度、面积和体积三者之间的内在结构关系

首先，长度、面积和体积在要素构成上具有内在逻辑关系。几何形体构成的基本要素是点、线、面，其中，无数个点累积而成了线（从这个意义上长度也可以称为线积）；无数条线累积而成了面（因此而称为面积）；无数个面累积而成了体（因此而称为体积）。因此，点、线、面和体中的前者分别依次是后者的构成要求，而后者又分别是在前者基础上的形成和拓展。

其次，长度、面积、体积之间在概念内涵和思想方法上既有区别又有联系。在概念内涵的语言表述方面，它们是有差异的。“长度”是一维的概念，表示物体或线段长短的程度；“面积”是二维的概念，表示物体表面或平面图形的大小；“体积”是三维的概念，表示物体所占空间的大小。在计量和比较的思想方法上它们又表现出共同的特征。线段之间可以进行长短比较，平面图形之间可以进行大小比较，物体之间可以进行所占空间大小的比较。因此，它们有各自直接比较和间接比较的方法。直接比较的方法有观察法和重叠法，间接比较的方法有借助中介物体或工具等等。在此基础上，又形成了基于一维的计量工具和单位的三维空间的计量单位体系。

六、计量工具和单位的形成过程对于学生发展思维有哪些价值

计量长度、面积、体积的工具和单位的产生是人类祖先的伟大发明，也是前人智慧的集聚表现。长度、面积和体积的概念对于学生来说不仅是遥远的历史，更是抽象的概念；不仅是远离学生的，更是外在于学生的。它们是前人生命实践的成果和经验的结晶，已然成为符号化的书本知识。我们需要透过符号化知识的表面，对其背后的过程形态的知识加以关注。在这个过程中，学生不仅能够认识和体会到比较过程中标准统一的必要性，而且还能够了解从一维到二维再到三维的计量工具和单位体系形成过程的来龙去脉，从而在经历生命实践活动的过程中可以实现自身的再创造。